Razones y proporciones

Cantidades proporcionales

Dos cantidades son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra también queda multiplicada por el mismo número; y al dividir una, la otra también queda dividida por el mismo número.

Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando, al dividir una por un número, la otra queda multiplicada por ese mismo número (y viceversa).

• Directa: si \(x\) se multiplica por \(k\), entonces \(y\) también se multiplica por \(k\).
• Inversa: si \(x\) se divide por \(k\), entonces \(y\) se multiplica por \(k\).

Ejemplos del texto:

• 18 lápices cuestan 28 Bs; 54 lápices es el triple \((54=18\cdot 3)\), entonces el costo también es el triple: \(28\cdot 3=84\) Bs (directa).
• 18 trabajadores hacen una barda en 12 días; 6 trabajadores es la tercera parte \((6=18/3)\), entonces el tiempo se triplica: \(12\cdot 3=36\) días (inversa).

Razón

La razón es el cociente entre dos cantidades \(a\) y \(b\), y se escribe como \( \frac{a}{b} \) o \(a:b\), con \(b \ne 0\).

En \( \frac{a}{b} \): \(a\) es el antecedente (numerador) y \(b\) es el consecuente (denominador).

• En \( \frac{7}{4} \), el antecedente es 7 y el consecuente es 4.
• En \(2:3\), el antecedente es 2 y el consecuente es 3.

Razón de proporcionalidad

Si dos cantidades son directamente proporcionales, la razón entre ellas es constante. Esa constante se llama razón de proporcionalidad.

• 18 libros cuestan 1260 Bs: \( \frac{1260}{18}=70 \).
• 45 chocolates cuestan 675 Bs: \( \frac{675}{45}=15 \).

Proporción

Una proporción es la igualdad entre dos razones:

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \text{con } b\ne 0,\ d\ne 0 \]

Se lee: \(a\) es a \(b\) como \(c\) es a \(d\). En la proporción, \(a\) y \(d\) son extremos y \(b\) y \(c\) son medios.

Regla clave para resolver ejercicios (producto cruzado):

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ a\cdot d=b\cdot c \]

Despeje de un medio (según el texto): si falta un medio, se obtiene como “producto de los extremos dividido por el otro medio”.

• Si falta \(c\): \(\; c=\frac{a\cdot d}{b}\).
• Si falta \(b\): \(\; b=\frac{a\cdot d}{c}\).

Ejemplo del texto: hallar \(c\) en \( \frac{5}{4}=\frac{28}{c} \).

\[ 5\cdot c=4\cdot 28 \Rightarrow c=\frac{4\cdot 28}{5} \]

En el texto se usa la regla de “extremos entre medio”: \(c=\frac{(5)(28)}{4}=35\) (tal como aparece).

Regla de tres simple (directa)

La regla de tres simple se usa para hallar el cuarto término de una proporción. El texto llama supuesto a la parte con datos conocidos y pregunta a la parte con el dato desconocido.

La regla de tres directa se aplica cuando las cantidades son directamente proporcionales (si una aumenta, la otra también aumenta).

Procedimiento típico:

1. Identificar supuesto y pregunta.
2. Armar dos razones en el mismo orden (misma magnitud arriba/abajo).
3. Formar la proporción \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \) con la incógnita.
4. Aplicar producto cruzado y despejar.

Ejemplo del texto: 12 pantalones cuestan 600 Bs. ¿Cuánto cuestan 18?

\[ \frac{12}{18}=\frac{600}{x} \Rightarrow x=\frac{600\cdot 18}{12}=900 \]

Ejemplo del texto: una llave abierta 4 horas/día por 5 días vierte 5200 L. ¿Cuánto en 12 días (4 horas/día)?

• Horas totales: \(5\cdot 4=20\) h y \(12\cdot 4=48\) h.
• Proporción: \(\frac{20}{48}=\frac{5200}{x}\).
• Despeje: \(x=\frac{5200\cdot 48}{20}=12480\) L.

Porcentajes

El porcentaje o tanto por ciento es el número de partes que se toman de cada 100. Se representa con \(\%\) o como fracción.

• \(p\%=\frac{p}{100}\).
• Ejemplo del texto: \(8\%\) de 48 es \(\frac{8}{100}\cdot 48\).

Para hallar el 100% (total) usando regla de tres:

Si \(30\%\) es 480, entonces \(100\%\) es \(x\):

\[ \frac{30}{100}=\frac{480}{x} \Rightarrow x=\frac{480\cdot 100}{30}=1600 \]