Operaciones aritméticas básicas

Operaciones aritméticas y orden

Las operaciones básicas de la aritmética son suma, resta, multiplicación y división. Otras operaciones son potenciación, radicación y logaritmos. Al resolver ejercicios se deben aplicar sus propiedades y respetar el orden de operaciones.

Suma de números enteros

La suma o adición (signo \(+\)) reúne cantidades. Los números que se suman se llaman sumandos y el resultado se llama suma o resultado.

Procedimiento en ejercicios con números grandes (método vertical):

• Escribe los números en columna alineando unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc.
• Suma de derecha a izquierda. Si una columna supera 9, “llevas” a la columna siguiente.

Propiedades de la suma

• Conmutativa: el orden no altera la suma. \(\;a+b=b+a\).
• Asociativa: la forma de agrupar no altera el resultado. \(\;(a+b)+c=a+(b+c)\).
• Elemento neutro: sumar 0 no cambia el número. \(\;a+0=a\).
• Inverso aditivo: todo entero tiene opuesto. \(\;a+(-a)=0\).

Resta de números enteros

La resta o sustracción (signo \(-\)) consiste en quitar una parte de una cantidad; el resultado se llama diferencia. Es la operación inversa de la suma.

Intervienen: minuendo \(-\) sustraendo \(=\) diferencia.

Prueba de la resta (muy usada en ejercicios): si \(M-S=D\), entonces \(S+D=M\).

Resta en vertical con “préstamo”:

• Alinea por columnas.
• Si en una columna el dígito del minuendo es menor que el del sustraendo, se “pide prestado” 1 a la columna de la izquierda (equivale a sumar 10 en esa columna).
• Luego se continúa restando normalmente.

Multiplicación de números enteros

La multiplicación (símbolos \(\times\), \(\cdot\), \(( )\)) representa una suma repetida. Los números se llaman factores y el resultado se llama producto.

Procedimiento en ejercicios con números grandes (método vertical):

• Alinea los números.
• Multiplica cada dígito del multiplicador por el multiplicando (de derecha a izquierda), anotando productos parciales.
• Desplaza (agrega ceros o corre una posición) al pasar a decenas, centenas, etc.
• Suma los productos parciales para obtener el producto final.

Propiedades de la multiplicación

• Conmutativa: \(\;a\cdot b=b\cdot a\).
• Asociativa: \(\;(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\).
• Distributiva:
  • \(\;a(b+c)=ab+ac\)
  • \(\;a(b-c)=ab-ac\)
  • En expresiones mixtas se distribuye término a término: \(\;a(b+c-d)=ab+ac-ad\).
• Elemento neutro: \(\;a\cdot 1=a\).
• Multiplicación por cero: \(\;a\cdot 0=0\).

División de números enteros

La división es una descomposición: cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro (dividendo). Es inversa de la multiplicación.

Elementos: dividendo, divisor, cociente, residuo.

• División exacta: residuo \(=0\).
• División inexacta: residuo \(\ne 0\).
• División de cero: si \(b\ne 0\), entonces \(\;0\div b=0\).

Divisibilidad y criterios

Un número \(a\) es divisible entre \(b\) si al dividir \(a\div b\) el residuo es \(0\). Los criterios permiten decidirlo sin hacer toda la división.

• Por 2: termina en cifra par o 0.
• Por 3: la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Por 4: las dos últimas cifras son 00 o forman múltiplo de 4.
• Por 5: termina en 0 o 5.
• Por 7: separa la última cifra \(u\), multiplica por 2 y resta a lo que queda: si el resultado es 0 o múltiplo de 7, entonces el número es divisible; se repite si hace falta.
• Por 9: la suma de cifras es múltiplo de 9.
• Por 10: termina en 0.
• Por 11: \(\left|\text{suma posiciones pares} - \text{suma posiciones impares}\right|\) es 0 o múltiplo de 11.
• Por 13: separa la última cifra \(u\), calcula \(9u\) y resta al número formado por los demás dígitos; si da 0 o múltiplo de 13, es divisible.
• Por 17: separa \(u\), calcula \(5u\) y resta al resto; si da 0 o múltiplo de 17, es divisible.
• Por 19: separa \(u\), calcula \(17u\) y resta al resto; si da 0 o múltiplo de 19, es divisible.

Números primos

Un número primo se divide exactamente solo entre 1 y él mismo. Según el texto, 1 no es primo.

Criba de Eratóstenes

Procedimiento para hallar primos hasta \(n\):

• Escribe los números naturales del 1 al \(n\).
• Tacha el 1.
• Marca el 2 como primo y tacha sus múltiplos.
• Busca el siguiente número no tachado (3), márcalo como primo y tacha sus múltiplos.
• Repite el proceso con el siguiente no tachado hasta completar la tabla.

Factorización prima

La descomposición en factores primos expresa un número como producto de primos. Se divide sucesivamente entre el menor primo posible hasta llegar a 1.

Ejemplo del texto: \(144=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=2^4\cdot 3^2\).

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El MCM de varios naturales es el menor múltiplo común distinto de 0.

Procedimiento por listado de múltiplos (según el texto):

• Genera el conjunto de múltiplos de cada número.
• Identifica los múltiplos comunes (sin considerar 0).
• Elige el menor de los comunes: ese es el MCM.

Ejemplo del texto: \( \text{MCM}(4,6)=12\).

Máximo Común Divisor (MCD)

El MCD es el mayor número que divide a todos los números del conjunto.

Procedimiento por listado de divisores (según el texto):

• Determina los divisores de cada número.
• Identifica los divisores comunes.
• Elige el mayor: ese es el MCD.

Ejemplo del texto: \( \text{MCD}(16,24)=8\).