Potenciación

Leyes de la potenciación

El texto indica tres leyes para la potenciación: uniformidad, distributiva y monotonía. También aclara que en la potenciación no se cumple la ley conmutativa (no siempre se puede permutar base y exponente).

Potenciación y ausencia de conmutatividad

En algunos casos, al permutar base y exponente se obtiene el mismo resultado, por ejemplo:

• \(4^2 = 16\) y \(2^4 = 16\).

Pero el texto muestra que casi nunca sucede:

• \(2^3 = 8\)
• \(3^5 = 243\)
• \(3^2 = 9\)
• \(5^3 = 125\)

Cómo usarlo en ejercicios: si te piden comparar o verificar igualdad entre \(a^b\) y \(b^a\), no asumas que son iguales; calcula ambos valores y compara.

Ley de uniformidad (potenciación)

El texto la enuncia en dos formas equivalentes:

• Valor único: una potencia de un número tiene un valor único (por ejemplo, \(2^2=4\) siempre; \(5^3=125\)).
• Conservación de igualdad: si \(M=N\), entonces al elevar ambos a una misma potencia se mantiene la igualdad.

Aplicación típica: si conoces una igualdad, puedes elevar ambos lados:

Si \(a=3\), entonces:

• \(a^2 = 3^2 \Rightarrow a^2 = 9\)
• \(a^3 = 3^3 \Rightarrow a^3 = 27\)
• \(a^4 = 3^4 \Rightarrow a^4 = 81\)

Ley distributiva (potenciación)

El texto afirma: la potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y de la división exacta.

Aplicación típica: si un ejercicio te pide “distribuir” una potencia, debes hacerlo cuando el interior sea un producto o una división exacta (no cuando sea una suma o resta, según lo que se trabaja análogo en radicación).

Ley de monotonía (potenciación)

Si los dos miembros de una desigualdad se elevan a una misma potencia distinta de cero, resulta una desigualdad del mismo sentido.

Ejercicios tipo: tomar una desigualdad y elevar ambos lados:

• Si \(7>5\), entonces \(7^2>5^2 \Rightarrow 49>25\) y \(7^3>5^3 \Rightarrow 343>125\).
• Si \(3<8\), entonces \(3^2<8^2 \Rightarrow 9<64\) y \(3^3<8^3 \Rightarrow 27<512\).

Leyes de la radicación

El texto indica dos leyes para la radicación: uniformidad y distributiva.

Ley de uniformidad (radicación)

• Valor único: la raíz de un grado dado de un número tiene un valor único. Ejemplo: \(\sqrt{49}=7\) (porque \(7^2=49\)).
• Conservación de igualdad: si \(M=N\), entonces \(\sqrt{M}=\sqrt{N}\).

Ejercicios tipo:

• Si \(a=25\), entonces \(\sqrt{a}=\sqrt{25}=5\).
• Si \(x^2=81\), entonces \(x=\sqrt{81}=9\).

Ley distributiva (radicación) y errores típicos

El texto aclara que la radicación no es distributiva respecto a la suma y la resta.

• \(\sqrt{36+64}\neq \sqrt{36}+\sqrt{64}\)
• Porque \(\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\), mientras que \(\sqrt{36}+\sqrt{64}=6+8=14\).
• \(\sqrt{25-9}\neq \sqrt{25}-\sqrt{9}\)
• Porque \(\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\), mientras que \(\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2\).

En cambio, el texto indica que la radicación es distributiva respecto a la multiplicación y a la división.

Guía rápida para resolver ejercicios

• Conmutatividad en potencias: si te piden comparar \(a^b\) y \(b^a\), calcula ambos; no lo des por cierto.
• Uniformidad: si tienes una igualdad, puedes elevar (potencias) o extraer (raíces) en ambos lados y la igualdad se conserva.
• Monotonía: si tienes una desigualdad, al elevar ambos lados a la misma potencia (no cero) se conserva el sentido.
• Distributiva: en radicación, evita distribuir sobre suma/resta; verifica con cálculo directo como en los ejemplos.