Números racionales

Números racionales

Un número racional es todo número que puede escribirse en forma de fracción \( \frac{a}{b} \), donde \(a\) y \(b\) son enteros y \(b \ne 0\).

Características de los números racionales

• Inverso multiplicativo: todo racional no nulo tiene recíproco. Si \( \frac{2}{3} \) es un racional, su inverso es \( \frac{3}{2} \) y: \[ \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{3}{2}\right)=1 \]
• Representan partes de un todo: una fracción puede interpretarse como “partes iguales” de una unidad.
• Todo entero puede expresarse como cociente: cualquier número entero puede escribirse como \( \frac{a}{b} \) con \(b\ne 0\) (por ejemplo, \(5=\frac{5}{1}\)).

Fracción común: numerador y denominador

Si \(a\) y \(b\) son enteros con \(b\ne 0\), la expresión \( \frac{a}{b} \) es una fracción común.

• Numerador (\(a\)): indica cuántas partes se toman.
• Denominador (\(b\)): indica en cuántas partes iguales se divide la unidad.

Ejemplo interpretativo: \( \frac{3}{4} \) significa “dividir la unidad en 4 partes iguales y tomar 3”.

Fracciones impropias y mixtas (interpretación y conversión)

Si el numerador es mayor que el denominador (por ejemplo \( \frac{5}{3} \)), se están tomando más de una unidad. En ese caso puede representarse como mixta (parte entera + parte fraccionaria).

Conversión impropia \(\rightarrow\) mixta: se divide el numerador entre el denominador:

• El cociente es la parte entera.
• El residuo es el nuevo numerador.
• El divisor queda como denominador.

Ejemplo (procedimiento general):

\[ \frac{43}{6}:\quad 43 = 6\cdot 7 + 1 \ \Rightarrow\ \frac{43}{6}=7\frac{1}{6} \]

\[ \frac{125}{12}:\quad 125 = 12\cdot 10 + 5 \ \Rightarrow\ \frac{125}{12}=10\frac{5}{12} \]

Clasificación de fracciones

• Propias: numerador menor que denominador \(\left(\frac{a}{b}\text{ con }a
• Impropias: numerador mayor o igual que denominador \(\left(\frac{a}{b}\text{ con }a\ge b\right)\).
• Mixtas: parte entera y parte fraccionaria (por ejemplo \(2\frac{1}{2}\)).

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad aunque estén escritas distinto.

Criterio de verificación (producto cruzado): \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \) son equivalentes si:

\[ a\cdot d = b\cdot c \quad (b\ne 0,\ d\ne 0) \]

Ejemplo:

\[ \frac{3}{4}\ \text{y}\ \frac{15}{20}:\quad 3\cdot 20=60,\ 4\cdot 15=60 \Rightarrow \text{equivalentes} \]

Si hay una fracción mixta, primero se convierte a impropia para comparar (según el texto).

Propiedades y simplificación

• Multiplicar numerador y denominador por el mismo número no cambia el valor: \[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}\quad (k\ne 0) \] Ejemplo: \[ \frac{6}{7}=\frac{6\cdot 2}{7\cdot 2}=\frac{12}{14} \]
• Dividir numerador y denominador por el mismo número no cambia el valor (simplificación): \[ \frac{a}{b}=\frac{a\div k}{b\div k}\quad (\text{si }k\text{ divide a }a\text{ y }b) \] Ejemplo: \[ \frac{12}{14}=\frac{12\div 2}{14\div 2}=\frac{6}{7} \]

Otra manera: dividir sucesivamente entre primos comunes hasta que ya no haya divisor primo común. Ejemplo:

\[ \frac{36}{24}\to \frac{18}{12}\to \frac{9}{6}\to \frac{3}{2} \]