Sistemas numéricos

Idea central del texto

El texto explica cómo surgen distintos conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales, irracionales y reales) a partir de necesidades como contar, descontar y tomar “partes” de un número. Luego presenta la numeración romana: sus símbolos, valores y reglas para escribir y leer números.

Conjuntos numéricos y cómo reconocerlos en ejercicios

Números naturales

Se usan para contar: \(1,2,3,4,5,\ldots\)

Números enteros

Surgen cuando se necesita descontar: aparecen los negativos y el elemento neutro \(0\). Con los naturales forman los enteros:

\(\ldots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\ldots\)

Números racionales

Aparecen cuando se toma “solo una parte” de un número. Se expresan como cociente de dos enteros con divisor distinto de cero:

\(\frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{6}{5},\ \frac{8}{2}\)

Procedimiento típico: si un número está escrito como fracción \(\frac{a}{b}\) con \(a\) y \(b\) enteros y \(b\neq 0\), se identifica como racional.

Números irracionales

Son los que no se pueden expresar como cociente de dos números enteros. Ejemplos del texto:

\(\sqrt{3},\ \sqrt{2},\ \sqrt{81},\ldots\)

Números reales

Al unir los conjuntos anteriores se forman los números reales, que se representan en la recta numérica.

Características (según el texto)

• Es un conjunto infinito.
• Tiene un primer elemento.
• Todos tienen un sucesor.
• Todos tienen un antecesor excepto el \(1\).

Numeración romana: lectura y escritura en ejercicios

Qué es (según el texto)

Es un sistema usado por los romanos y no utiliza el principio del valor relativo: el valor de los símbolos no cambia por su posición.

Símbolos y valores (según el texto)

• \(I=1\)
• \(V=5\)
• \(X=10\)
• \(L=50\)
• \(e=100\)
• \(D=500\)
• \(M=1000\)

Rayitas encima (según el texto)

• Una rayita encima: tantos millares como unidades indique el símbolo.
• Dos rayitas encima: tantos millones como unidades indique el símbolo.
• Cuatro rayitas encima: tantos billones como unidades indique el símbolo.
• Seis rayitas encima: tantos trillones como unidades indique el símbolo.

Reglas para representar números romanos (con procedimiento)

Regla 1: suma (a la derecha igual o menor)

Si a la derecha de una cifra colocamos otra igual o menor, se suma:

\(LV = L + V = 50 + 5 = 55\)

Regla 2: resta (a la izquierda menor)

Si a la izquierda de una cifra colocamos otra menor, se resta:

\(IV = V - I = 5 - 1 = 4\)

Regla 3: límites de repetición y forma correcta

No se emplean más de tres símbolos iguales seguidos a la derecha de otra cifra mayor, ni aislados; ni más de uno a la izquierda de otra mayor. Por eso:

• \(40\) no se escribe \(XXXX\), se escribe \(XL\).
• \(9\) no se escribe \(VIIII\), se escribe \(IX\).
• \(70\) no se escribe \(XXXC\), se escribe \(LXX\).

Cómo resolver conversiones (según los ejemplos del texto)

De arábigos a romanos (descomposición por partes)

Se separa el número en centenas, decenas y unidades y se aplica suma/resta según reglas y ejemplos del texto. Por ejemplo, para \(234\):

• \(200 \rightarrow CC\)
• \(30 \rightarrow XXX\)
• \(4 \rightarrow IV\)
• Entonces \(234 \rightarrow CCXXXIV\)

De romanos a arábigos (sumar o restar según el orden)

Se recorre el número romano y se decide si se suma (cuando el símbolo siguiente es menor o igual) o se resta (cuando un símbolo menor está a la izquierda de uno mayor). Ejemplo del texto: \(MCDXCII\).